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本書主要面向高等學(xué)校理工類專業(yè)學(xué)生，介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、基本理論和基本方法，注重強(qiáng)基礎(chǔ)和提升能力兩個(gè)方面的訓(xùn)練。全書共八章，主要內(nèi)容包括隨機(jī)事件與概率、一維隨機(jī)變量及其分布、多維隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律與中心極限定理、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、方差分析與回歸分析。

本書每節(jié)都配有分層練習(xí)，除第八章外，每章還配有考研題作為總習(xí)題，書后附有習(xí)題參考答案和提示，實(shí)操性較強(qiáng)。

秦永松，博士，廣西師范大學(xué)二級(jí)教授，博士生和碩士生導(dǎo)師，廣西“新世紀(jì)十百千人才工程”第二層次人選。歷任廣西數(shù)學(xué)會(huì)常務(wù)理事、中國(guó)現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)研究會(huì)（全國(guó)一級(jí)學(xué)會(huì)）理事、中國(guó)現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)研究會(huì)資源與環(huán)境統(tǒng)計(jì)分會(huì)常務(wù)理事。長(zhǎng)期從事非參數(shù)統(tǒng)計(jì)、經(jīng)驗(yàn)似然、基因統(tǒng)計(jì)和缺失數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析。

第1 章隨機(jī)事件與概率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)試驗(yàn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.1.2 樣本空間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 隨機(jī)事件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4 事件間的關(guān)系與運(yùn)算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

習(xí)題1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.2 概率的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 概率的公理化定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.2.2 古典概率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 幾何概率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

習(xí)題1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 概率的性質(zhì). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 概率的有限可加性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 概率的減法公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3 概率的加法公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

習(xí)題1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 條件概率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.1 條件概率的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.2 乘法公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.3 全概率公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.4 貝葉斯公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

習(xí)題1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 獨(dú)立性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.5.1 兩個(gè)事件的獨(dú)立性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.2 多個(gè)事件的獨(dú)立性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.3 試驗(yàn)的獨(dú)立性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

習(xí)題1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

本章總結(jié). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

總習(xí)題1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

第2 章一維隨機(jī)變量及其分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

2.1 隨機(jī)變量及其分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 隨機(jī)變量的定義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

習(xí)題2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.1 離散型隨機(jī)變量的分布律. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

2.2.2 分布律與分布函數(shù)的關(guān)系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

2.2.3 常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

習(xí)題2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.1 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3.2 密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

2.3.3 常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

習(xí)題2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.4.1 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

2.4.2 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

習(xí)題2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

本章總結(jié). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

總習(xí)題2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

第3 章多維隨機(jī)變量及其分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

3.1 二維隨機(jī)變量及其分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.1.1 二維隨機(jī)變量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.1.2 聯(lián)合分布函數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.1.3 二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.1.4 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

習(xí)題3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2 邊緣(際) 分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2.1 邊緣分布函數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2.2 邊緣分布律. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.2.3 邊緣密度函數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

習(xí)題3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.3 隨機(jī)變量的獨(dú)立性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

習(xí)題3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4 條件分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.4.1 條件分布函數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.4.2 離散型隨機(jī)變量的條件分布律. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

3.4.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

習(xí)題3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.5 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.5.1 二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

3.5.2 二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

習(xí)題3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

本章總結(jié). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

總習(xí)題3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

第4 章隨機(jī)變量的數(shù)字特征. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.1 一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.1.1 一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.1.2 一維隨機(jī)變量的方差. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.1.3 一維隨機(jī)變量的矩. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

習(xí)題4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.2 二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.2.1 二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

4.2.2 二維隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

習(xí)題4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.3 大數(shù)定律和中心極限定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.3.1 大數(shù)定律. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.3.2 中心極限定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

習(xí)題4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

本章總結(jié). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

總習(xí)題4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

第5 章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

5.1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.1.1 總體. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.1.2 樣本. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.1.3 統(tǒng)計(jì)量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

5.1.4 常用統(tǒng)計(jì)量. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

習(xí)題5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.2 三大常用統(tǒng)計(jì)分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.2.1 分位數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.2.2 χ2 分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.2.3 t 分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180

5.2.4 F 分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

習(xí)題5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.3 抽樣分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.3.1 單正態(tài)總體的抽樣分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5.3.2 雙正態(tài)總體的抽樣分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.3.3 一般總體的漸近抽樣分布. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

習(xí)題5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

本章總結(jié). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

總習(xí)題5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

第6 章參數(shù)估計(jì). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.1 點(diǎn)估計(jì). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

6.1.1 矩估計(jì). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.1.2 最大似然估計(jì). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.1.3 估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

習(xí)題6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.2 區(qū)間估計(jì). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.2.1 置信區(qū)間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.2.2 單正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

習(xí)題6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6.3 雙正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6.3.1 雙正態(tài)總體均值之差的置信區(qū)間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220

6.3.2 雙正態(tài)總體方差之比的置信區(qū)間. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223

習(xí)題6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

本章總結(jié). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

總習(xí)題6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

第7 章假設(shè)檢驗(yàn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

7.1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想與概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.1.1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.1.2 假設(shè)檢驗(yàn)中的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.1.3 假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

7.1.4 檢驗(yàn)的p 值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

習(xí)題7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

7.2 單正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

7.2.1 單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7.2.2 單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

習(xí)題7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.3 兩正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.3.1 兩個(gè)正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

7.3.2 兩個(gè)正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249

習(xí)題7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

本章總結(jié). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

總習(xí)題7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

第8 章方差分析與回歸分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

8.1 單因素方差分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

8.1.1 問(wèn)題提出與方差分析模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

8.1.2 偏差平方和分解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

8.1.3 檢驗(yàn)方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

習(xí)題8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.2 一元線性回歸. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.2.1 變量之間的兩類關(guān)系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.2.2 一元線性回歸模型. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

8.2.3 回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8.2.4 回歸方程的顯著性檢驗(yàn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

8.2.5 估計(jì)和預(yù)測(cè). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

習(xí)題8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

本章總結(jié). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

習(xí)題參考答案及提示. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .280

主要參考文獻(xiàn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

附表. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是高等學(xué)校理、工、農(nóng)、經(jīng)等類本科專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程,本書在知識(shí)體系安排上按照教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)制定的基本要求執(zhí)行. 本書內(nèi)容分8 章, 前4 章為概率論, 后4 章為數(shù)理統(tǒng)計(jì).

本書在編寫上注重打牢基礎(chǔ)和提升能力兩方面. 以實(shí)例分析講解為主線, 穿插解題注意點(diǎn), 以及解題方法和知識(shí)點(diǎn)總結(jié). 精選基本習(xí)題并將近年的研究生入學(xué)考試題匯編成章總習(xí)題, 在書后給出了基本習(xí)題和總習(xí)題的參考答案和提示, 讀者通過(guò)完成基本習(xí)題鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和能力, 通過(guò)完成總習(xí)題提升解題能力, 這樣安排習(xí)題是希望培養(yǎng)讀者的興趣與能力, 提高讀者學(xué)好這門課程的信心. 另外, 本書對(duì)隨機(jī)事件和隨機(jī)變量采用直觀的定義, 為后續(xù)學(xué)習(xí)嚴(yán)格定義打下基礎(chǔ).

讀者可利用人工智能(artificial intelligence, AI) 技術(shù)輔助本書的學(xué)習(xí), 如通過(guò)AI 快速了解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的基本概念并得到分布的分位數(shù)等. 以DeepSeek 為例的操作方法如下: ①基本概念(以卡方分布為例), 在DeepSeek 的輸入框中給出提示詞“卡方分布的基本概念”, 即可獲取卡方分布的定義與背景、核心特性(概率密度函數(shù)、分布形態(tài)、可加性)、主要應(yīng)用等; ②分布的分位數(shù)(以正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)為例), 在DeepSeek 的輸入框中給出提示詞“正態(tài)分布的上側(cè)0.05 分位數(shù)”, 即可獲得結(jié)果1.644854. 值得注意的是,AI 輸出的結(jié)果也可能出錯(cuò), 讀者在利用AI 輔助學(xué)習(xí)時(shí), 需仔細(xì)辨別AI 輸出的內(nèi)容.

本書第1 章、第8 章由秦永松編寫, 第2 章、第5 章由李英華編寫, 第3 章、第7 章由黎玉芳編寫, 第4 章、第6 章由蘇又編寫. 全書由秦永松統(tǒng)稿, 唐文靜等研究生參與了編輯和校對(duì)工作.本書編者參考了眾多教材和專著, 在此謹(jǐn)向有關(guān)作者表示衷心的感謝！還要感謝廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院的領(lǐng)導(dǎo)和教師, 他(她) 們的關(guān)心、支持和鼓勵(lì)使我們能以充沛的精力完成此書的編寫. 特別感謝廣西師范大學(xué)出版社對(duì)本書的支持和編輯.

由于編者水平有限, 疏漏之處在所難免, 請(qǐng)廣大讀者提出寶貴意見(jiàn), 以便我們做進(jìn)一步改進(jìn).

秦永松李英華黎玉芳蘇又

2025 年2 月

本書主要面向高等學(xué)校理工類專業(yè)學(xué)生，介紹概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、基本理論和基本方法，實(shí)操性較強(qiáng)。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是定量研究現(xiàn)實(shí)世界中不確定現(xiàn)象的一門科學(xué), 包含概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)兩部分內(nèi)容. 概率論主要研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性, 它通過(guò)數(shù)學(xué)模型描述隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在的數(shù)量規(guī)律, 數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率論為基礎(chǔ), 通過(guò)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察并收集數(shù)據(jù), 通過(guò)科學(xué)整理和分析數(shù)據(jù), 從而確定隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律, 進(jìn)而進(jìn)行推斷和決策. 本章介紹概率論中的隨機(jī)事件、概率、條件概率、獨(dú)立性等基本概念和性質(zhì).

自然界中遇到的各種現(xiàn)象(日常生活中常說(shuō)的情況、事實(shí)、驚喜、自然災(zāi)害等) 可分為隨機(jī)現(xiàn)象(或稱不確定性現(xiàn)象) 和必然現(xiàn)象(或稱確定性現(xiàn)象) 兩類. 只有一個(gè)結(jié)果的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象. 例如, 水在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下加熱到100 °C 就沸騰; 水往低處流; 寒冬之后春天將來(lái)臨等. 隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果不止一個(gè)且人們事先并不知道哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn). 例如, 拋一枚硬幣, 有可能正面朝上或者反面朝上; 某電腦的壽命; 某網(wǎng)絡(luò)或者無(wú)人駕駛汽車發(fā)生故障的時(shí)間等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象.

人們?yōu)榱搜芯侩S機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性而進(jìn)行的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn), 隨機(jī)試驗(yàn)有3 個(gè)特點(diǎn):

(1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;

(2) 試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè), 試驗(yàn)前一般知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;

(3) 每次試驗(yàn)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果在試驗(yàn)前不能確定.

隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為隨機(jī)現(xiàn)象, 但也有很多隨機(jī)現(xiàn)象不是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果, 如天氣變化情況、自然災(zāi)害發(fā)生的情況等, 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)除了研究能通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)產(chǎn)生的大量重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象, 也研究不能重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象.