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本書(shū)旨在為數(shù)獨(dú)愛(ài)好者和學(xué)習(xí)者提供數(shù)獨(dú)游戲的規(guī)則和適用性高的解題技巧與解題思路，以幫助讀者了解數(shù)獨(dú)游戲，享受解題樂(lè)趣。本書(shū)介紹了數(shù)獨(dú)游戲的定義和規(guī)則，逐條說(shuō)明求解數(shù)獨(dú)問(wèn)題的運(yùn)算規(guī)則及其符號(hào)，并輔以應(yīng)用實(shí)例。本書(shū)還依次歸納了數(shù)條普遍適用的運(yùn)算規(guī)則和一定數(shù)量的數(shù)獨(dú)題目，幫助讀者較快適應(yīng)數(shù)獨(dú)規(guī)則、輕松實(shí)踐上手。

馬中騏，浙江杭州（臨平）人，1940年3月生于上海市。曾就讀于蘭州大學(xué)，是中國(guó)科學(xué)院首屆研究生，獲001號(hào)博士學(xué)位證書(shū)。曾任中國(guó)科學(xué)院高能物理研究所四室研究員、博士生導(dǎo)師、高能物理研究所學(xué)術(shù)委員會(huì)委員和高能物理研究所學(xué)位委員會(huì)主任、高能物理學(xué)會(huì)會(huì)員。1991年被評(píng)為“做出突出貢獻(xiàn)的中國(guó)博士學(xué)位獲得者”。1992年10月起享受?chē)?guó)務(wù)院政府特殊津貼。

長(zhǎng)期以來(lái)一直從事理論物理研究，重點(diǎn)在群論方法及其物理應(yīng)用方面進(jìn)行科學(xué)研究和教學(xué)工作，已發(fā)表研究論文200余篇。曾在規(guī)范場(chǎng)理論、大統(tǒng)一理論、磁單極理論、量子散射理論和Levinson定理、量子群理論及其在物理中的應(yīng)用、群論方法在量子理論中的應(yīng)用等方向開(kāi)展科研工作。重要的科研成果有量子N體系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的分離、Levinson定理的證明與推廣、量子群的研究等。諾貝爾獎(jiǎng)獲得者楊振寧教授曾評(píng)價(jià)馬中騏的研究成果是能留得下來(lái)的工作。

馬中騏博士曾先后三次獲得中國(guó)科學(xué)院科技進(jìn)步二等獎(jiǎng)，獲得中國(guó)科學(xué)院一九九六年度教學(xué)成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)（群論教材），獲得2004~2005年度王淦昌獎(jiǎng)。

出版的圖書(shū)包括《群論及其在物理中的應(yīng)用》、《楊-巴克斯特方程和量子包絡(luò)代數(shù)》、《物理學(xué)中的群論》、《群論習(xí)題精解》、Yang-Baxter equation and quantum enveloping algebras等。

第 1 章 數(shù)獨(dú)及其運(yùn)算規(guī)則 ··········································1

第 2 章 數(shù)獨(dú)運(yùn)算規(guī)則應(yīng)用舉例 ·····································20

2.1 數(shù)獨(dú)題目 1 ··················································20

2.2 數(shù)獨(dú)題目 2 ··················································23

2.3 數(shù)獨(dú)題目 3 ··················································27

2.4 數(shù)獨(dú)題目 4 ··················································30

2.5 數(shù)獨(dú)題目 5 ··················································33

2.6 數(shù)獨(dú)題目 6 ··················································37

2.7 數(shù)獨(dú)題目 7 ··················································41

2.8 數(shù)獨(dú)題目 8 ··················································45

2.9 數(shù)獨(dú)題目 9 ··················································51

2.10 數(shù)獨(dú)題目 10 ················································55

第 3 章 格圈、格鏈及其應(yīng)用 ········································56

3.1 格圈和格鏈 ··················································56

3.2 廣義格鏈 ·····················································73

3.3 排除法 ·······················································89

第 4 章 數(shù)獨(dú)世界難題 ················································ 103

4.1 數(shù)獨(dú)難題 1 ·················································· 105

4.2 數(shù)獨(dú)難題 2 ·················································· 111

4.3 等價(jià)的數(shù)獨(dú)題目 ············································ 116

附錄一 移棋相間法 ··················································· 118

附錄二 天平秤球 ······················································ 121

附錄三 確定帽子顏色 ················································ 129

【前言】

數(shù)獨(dú)是一種邏輯推理類(lèi)數(shù)字填充游戲. 雖然這種游戲和數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler, 1707—1783 年)研究過(guò)的拉丁方(Latin square) 有一定關(guān)系. 但它最早作為一種游戲形式出現(xiàn), 可以追溯到 20 世紀(jì) 70 年代. 當(dāng)時(shí)在美國(guó)紐約的一本益智雜志 Math Puz-zles and Logic Problems 上出現(xiàn)了一種稱為填數(shù)字 (number place) 的游戲. 1984 年一位日本學(xué)者把它傳到日本, 用日文漢字取名為 “數(shù)獨(dú)”(Su Doku). 1997 年中國(guó)香港高等法院的新西蘭籍法官高樂(lè)德 (Wayne Gould) 在《泰晤士報(bào)》(The Times) 上發(fā)表了這種游戲, 該游戲很快便風(fēng)靡英國(guó), 并由此傳遍全世界. 20 世紀(jì) 90 年代國(guó)內(nèi)部分益智類(lèi)書(shū)籍開(kāi)始刊登數(shù)獨(dú). 南海出版社在 2005 年出版了《數(shù)獨(dú) 1》和《數(shù)獨(dú) 2》,數(shù)獨(dú)由此在國(guó)內(nèi)廣泛傳播.

國(guó)際上, 由世界智力謎題聯(lián)合會(huì)組織的世界數(shù)獨(dú)錦標(biāo)賽 (World Sudoku Championship) 每年舉行一次, 首屆于 2006 年在意大利的盧卡 (Lucca) 舉行, 第八屆于 2013 年在北京舉行. 北京市數(shù)獨(dú)運(yùn)動(dòng)協(xié)會(huì)作為世界智力謎題聯(lián)合會(huì)的分支, 也每年組織一次中國(guó)數(shù)獨(dú)錦標(biāo)賽.比賽包括標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)和變形數(shù)獨(dú)兩類(lèi). 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)獨(dú)和變形數(shù)獨(dú)雖然規(guī)則不同, 但解法類(lèi)似. 本書(shū)只研究標(biāo)準(zhǔn) (經(jīng)典) 數(shù)獨(dú), 以下稱數(shù)獨(dú).

因數(shù)字排列方式千變?nèi)f化, 數(shù)獨(dú)吸引了大量愛(ài)好者參與. 數(shù)獨(dú)有助于老年人加強(qiáng)思維活動(dòng), 防止智力退化, 也有助于兒童和年輕人訓(xùn)練邏輯推理和觀察分析的能力. 所有參加游戲的人都可以從游戲中獲得成就感和愉悅感. 本書(shū)附錄介紹了三個(gè)游戲, 既可以滿足愛(ài)好者玩數(shù)字游戲的需要, 也可以訓(xùn)練愛(ài)好者的邏輯推理能力.

隨著數(shù)獨(dú)的推廣, 人們總結(jié)了大量解題技巧, 總體而言都是根據(jù)已有數(shù)字, 按照數(shù)獨(dú)的基本規(guī)定, 通過(guò)推理和分析, 在空格中填充相應(yīng)的數(shù)字. 其中, 有的方法簡(jiǎn)單直觀, 但適用范圍有限? 有的方法有比較復(fù)雜的推理, 需要一定的記憶能力, 掌握起來(lái)有些困難.

本書(shū)試圖把已有的各種繁雜的數(shù)獨(dú)解題方法系統(tǒng)化, 通過(guò)理論物理學(xué)家的思維方式, 歸納成六條清晰易懂的運(yùn)算規(guī)則, 幫助讀者學(xué)會(huì)求解一般數(shù)獨(dú)題目的方法. 然后引入格圈和格鏈的概念, 導(dǎo)出本書(shū)獨(dú)創(chuàng)的數(shù)獨(dú)運(yùn)算技巧, 幫助讀者求解較難的數(shù)獨(dú)題目. 本書(shū)總結(jié)的這些方法都用適當(dāng)?shù)姆?hào)來(lái)標(biāo)記, 從而可以把求解數(shù)獨(dú)題目的過(guò)程像棋譜一樣記錄下來(lái), 大大簡(jiǎn)化了解釋的語(yǔ)言. 原則上說(shuō), 棋譜完全記錄了下棋的過(guò)程, 但大部分讀者在閱讀棋譜時(shí), 還是愿意在棋盤(pán)上移動(dòng)棋子以便于理解下棋的過(guò)程. 記住九宮圖的填數(shù)要比記住棋譜困難得多, 因此標(biāo)記方法的數(shù)獨(dú)符號(hào)還需要九宮圖的配合, 才能幫助愛(ài)好者真正理解數(shù)獨(dú)題目的求解過(guò)程.

國(guó)內(nèi)發(fā)行的有關(guān)數(shù)獨(dú)的圖書(shū), 多數(shù)是數(shù)獨(dú)題集. 事實(shí)上, 在網(wǎng)絡(luò)高度發(fā)展的今天, 各類(lèi)難易程度不一的題目都可以輕易地從網(wǎng)上找到. 本書(shū)推薦三個(gè)網(wǎng)站供讀者參考: ①https://sudoku.game/?②https://www.websudoku.com/?level=4? ③https://sudoku.com/evil/.

作為一本介紹數(shù)獨(dú)的書(shū), 本書(shū)先介紹什么是數(shù)獨(dú), 然后逐條說(shuō)明求解數(shù)獨(dú)題目的運(yùn)算規(guī)則及其符號(hào), 并輔以例題. 第一章歸納了六條運(yùn)算規(guī)則. 第二章列舉了 10 道普通的數(shù)獨(dú)題目, 并介紹了運(yùn)用這六條運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行求解的詳細(xì)過(guò)程. 作者相信, 大部分讀者很容易掌握這六條運(yùn)算規(guī)則, 并能將其用于求解常見(jiàn)的數(shù)獨(dú)題目. 第三章引入格圈和格鏈的概念, 歸納了四條新的運(yùn)算規(guī)則. 通過(guò)一些例題解釋新運(yùn)算規(guī)則的符號(hào)及其使用方法, 幫助愛(ài)好者學(xué)會(huì)獨(dú)立地求解較難的數(shù)獨(dú)題目. 本書(shū)的解法強(qiáng)調(diào)從數(shù)獨(dú)題目的整體 (全圖) 出發(fā), 通過(guò)運(yùn)算規(guī)則和技巧, 簡(jiǎn)化各空格的允許填數(shù), 獲得數(shù)獨(dú)終盤(pán) (答案), 這種方法稱為整體解法.

英國(guó)《每日郵報(bào)》(The Daily Mail) 2012 年 6 月 30 日的一篇報(bào)道介紹了芬蘭數(shù)學(xué)家因卡拉 (Arto Inkala) 花費(fèi) 3 個(gè)月設(shè)計(jì)出的聲稱是迄今世界上 “難度最大的數(shù)獨(dú)題”, 并把此題比作數(shù)獨(dú)題的 “珠穆朗瑪峰”. 此題只有一個(gè)答案. 因卡拉教授說(shuō)只有思考能力最快、頭腦最聰明的人才能破解這個(gè)游戲 (only the quickest and brightest minds would be able to solve it). 2007 年因卡拉教授還出版了一本專(zhuān)著 (AI Escargot ——The most difficult Sudoku puzzle) , 其中提出了另外一道也聲稱是世界上 “最難的數(shù)獨(dú)題”.

針對(duì)類(lèi)似芬蘭數(shù)學(xué)家因卡拉教授設(shè)計(jì)的極少數(shù)數(shù)獨(dú)難題, 本書(shū)第四章采用分題的方法求解, 并以因卡拉教授設(shè)計(jì)的兩道 “數(shù)獨(dú)世界難題” 為例, 詳細(xì)介紹了分題求解的過(guò)程, 說(shuō)明只要學(xué)習(xí)和掌握了本書(shū)提出的這套解法, 不需要專(zhuān)門(mén)的訓(xùn)練, 任何人都可以獨(dú)立求解各類(lèi)數(shù)獨(dú)題目, 甚至包括難度相當(dāng)大的題目. 作者無(wú)意引導(dǎo)讀者去鉆研數(shù)獨(dú)難題, 只是想說(shuō)明, 即使是人為設(shè)計(jì)的數(shù)獨(dú)難題, 只要充滿信心, 方法得當(dāng), 一般人也是可以求解的.

為了幫助讀者理解和領(lǐng)會(huì)本書(shū)的數(shù)獨(dú)運(yùn)算規(guī)則, 作者制作了一套數(shù)獨(dú)解法講課視頻, 全套共九集, 每集時(shí)長(zhǎng)約半小時(shí), 包括第一章一集、第二章兩集、第三章四集和第四章兩集. 掃描書(shū)后二維碼即可觀看視頻.

近日, 作者從網(wǎng)上查知電子科技大學(xué)出版社 2013 年出版的《輕松速解數(shù)獨(dú)——陳氏解法》一書(shū), 作者陳金康先生在該書(shū)中介紹的解法在解因卡拉教授 2012 年設(shè)計(jì)的數(shù)獨(dú)世界難題時(shí)需要經(jīng)過(guò)多次復(fù)雜的猜測(cè)且篇幅較大. 本書(shū)所提出的數(shù)獨(dú)解法則能夠在一定程度上更加簡(jiǎn)單明了地表達(dá)數(shù)獨(dú)世界難題的解題過(guò)程.

感謝泰康之家所提供的優(yōu)越的工作環(huán)境, 以及與老年朋友的良好討論機(jī)會(huì). 感謝泰康之家居民潘愛(ài)蘭老師和新加坡世界科學(xué)出版社 (World Scientific) 編輯潘素起女士提供的因卡拉教授設(shè)計(jì)的兩道“數(shù)獨(dú)世界難題”, 以及一直給予的支持和鼓勵(lì). 感謝泰康之家居民黃惟崎老師、吳先敏老師、宋建云老師在數(shù)獨(dú)問(wèn)題上的交流和討論. 感謝妹妹馬中芳老師提供的若干道數(shù)獨(dú)題目和有益的討論. 感謝妻子李現(xiàn)老師一直以來(lái)的全力支持和鼓勵(lì), 無(wú)微不至的關(guān)愛(ài)和對(duì)本書(shū)寫(xiě)作過(guò)程的認(rèn)真討論及研究.

數(shù)獨(dú)為一種邏輯游戲，注重邏輯與推理。本書(shū)是數(shù)獨(dú)研究者、愛(ài)好者和初學(xué)者由淺入深學(xué)習(xí)數(shù)獨(dú)的數(shù)學(xué)普及讀物。作為介紹數(shù)獨(dú)的智力游戲的圖書(shū)，相比較于市面上其他以題庫(kù)為主的同類(lèi)書(shū)籍，本書(shū)表現(xiàn)出較強(qiáng)的學(xué)術(shù)深度和研究?jī)r(jià)值，值得一讀！

第1章 數(shù)獨(dú)及其運(yùn)算規(guī)則

所謂數(shù)獨(dú), 就是在九宮圖中n個(gè)格子內(nèi)預(yù)先填入確定的數(shù), 稱為提示數(shù) (clue). 凡是填有確定數(shù)x的格子稱為定格x, 簡(jiǎn)稱定格. 凡是填數(shù)還沒(méi)有確定的格子, 統(tǒng)稱為空格.

一道合格 (proper) 的數(shù)獨(dú)題目, 在給出n個(gè)提示數(shù)后, 通過(guò)各種運(yùn)算規(guī)則的操作, 逐步減少數(shù)獨(dú)全圖中各空格的允許填數(shù), 把空格逐步變成定格, 最后一定可以找到唯一一個(gè)數(shù)獨(dú)終盤(pán). 存在多于一個(gè)不相同數(shù)獨(dú)終盤(pán)的數(shù)獨(dú)題目是不合格的數(shù)獨(dú)題目. 如果在九宮圖同一單元中重復(fù)出現(xiàn)填數(shù)相同的定格, 或者一個(gè)空格的允許填數(shù)減少到零, 則說(shuō)明這個(gè)數(shù)獨(dú)題目出現(xiàn)矛盾, 這也是不合格的數(shù)獨(dú)題目. 實(shí)踐證明, 提示數(shù)n至少要有 17 個(gè). 至今還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)一道提示數(shù)少于 17個(gè)的合格的數(shù)獨(dú)題目. 本書(shū)不討論如何找出合格的數(shù)獨(dú)題目, 而專(zhuān)門(mén)討論對(duì)于合格的數(shù)獨(dú)題目, 如何找到數(shù)獨(dú)終盤(pán).

第4章 數(shù)獨(dú)世界難題

對(duì)于難題非常大的題目, 如本節(jié)介紹的所謂數(shù)獨(dú)世界難題, 則需要反復(fù)使用排除法. 此時(shí)只有把這些要排除的允許填數(shù)適當(dāng)編號(hào), 才能使計(jì)算有條理地進(jìn)行. 這就是本章要介紹的分題法.

附錄一 移棋相間法

楊振寧先生于 2019 年在《數(shù)學(xué)文化》上發(fā)表的文章《許寶騄和“移棋相間法”》介紹了 1940 年前后西南聯(lián)大物理系和數(shù)學(xué)系的師生們喜歡玩的一個(gè)中國(guó)古代游戲, 即移棋相間法. 楊先生稱其在《道德文章垂范人間: 紀(jì)念許寶騄先生百年誕辰》一書(shū)第 316 頁(yè)上看到一篇俞潤(rùn)民的文章, 文章說(shuō)許曾發(fā)現(xiàn)求解 “移棋相間法” 的 “合四為一之新律”, 楊先生猜想此新律就是自己在美國(guó)發(fā)現(xiàn)的 modulo4 方法. 于是重新研究此游戲, 得到全解, 并撰文發(fā)表.

看到楊先生的文章后, 作者曾和楊先生在網(wǎng)上討論該游戲, 并對(duì)其稍作推廣. 楊先生鼓勵(lì)作者撰文發(fā)表. 作者認(rèn)為在本書(shū)附錄介紹這個(gè)游戲較為適宜.