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近代著名數理邏輯學家王浩在數學、邏輯學、計算機科學領域有著超高天賦和開拓性成果，他一生癡迷于哲學研究，是對世界哲學作出過深刻貢獻的華裔學者。

本書是王浩的代表作，是其正面集中闡釋自己哲學思想的作品。循著從柏拉圖到哥德爾的“數學-哲學家”傳統(tǒng)，王浩在書中首次對實質事實主義一般立場進行了長篇闡發(fā)；廣泛、深入地討論了數學哲學的諸議題；探索了心靈與機器、數學與計算機、知識與生活等話題；還重點考察了邏輯和數學領域的一些基本概念。此次中譯本首次出版，由專業(yè)譯者精心翻譯，以助讀者更好地理解王浩的數學哲學思想。

作者：王浩（1921—1995）近代著名數理邏輯學家。曾任教于牛津大學、哈佛大學等世界

名校。著有《邏輯之旅》《哥德爾》《超越分析哲學》。

譯者：高坤，北京大學哲學博士，現任教于山西大學科學技術哲學研究中心，主要從事邏輯與數學哲學方面的研究。

邢滔滔，北京大學哲學系教授。著有《數理邏輯》等。

前言

文本說明

引論

1 作為一種方法和解毒劑的實質事實主義

2 反對實證主義

3 反對語言哲學

4 關于實質事實主義的一些說明

5 邏輯、數學及本書的范圍

第1章 數理邏輯與數學哲學

1 數學哲學諸議題

2 公理方法與抽象結構

3 一致性問題

4 數理邏輯對哲學家的欺騙性吸引力

第2章 一般數學概念的刻畫

1 自然數

2 連續(xù)統(tǒng)

3 機械程序

第3章 羅素的邏輯和幾個一般問題

1 《數學的原則》（1903）

2 《數學原理》之序曲（1903—1910）

3 《數學原理》

4 維特根斯坦和拉姆齊

5 邏輯真理及其他哲學問題

6 直謂定義和惡性循環(huán)原則

第4章 邏輯真

1 亞里士多德邏輯的預設

2 邏輯常項和邏輯真理

第5章 元邏輯

1 形式語言和形式系統(tǒng)

2 元邏輯的起源和影響

3 關于形式數學系統(tǒng)的精確結果

4 關于邏輯演算的精確結果

第6章 集合的概念

1 集合的（最大化）迭代概念

2 破產（矛盾），還是誤解（錯誤）？

3 集合論中的客觀主義和形式主義

4 新公理和可接受性標準

5 與幾何學和物理學的比較

6 關于無界量化的題外話

7 從康托的著作中提取集合論公理

8 康托和米利曼諾夫的層譜

第7章 數學的理論與實踐

1 活動與可行性

2 數學還原為邏輯

3 什么是數學？

4 數學的實踐方面

第8章 必然性、分析性和先天性

1 這三個概念的起源和同化

2 來自康德哲學的啟示

3 從弗雷格到分析哲學

4 關于當代爭論的幾點注記

第9章 數學與計算機

1 計算機的新用途

2 數學對計算機發(fā)展的影響

3 邏輯數學

4 數學推理作為一種機械過程

5 有窮計算和無窮數學

6 邏輯與計算機

第10章 心靈與機器

1 機械論的諸方面

2 計算機與大腦

3 人工智能或機器智能

4 人類思維的計算機模擬

5 思維紀要和理論心理學

6 數學證明

7 哥德爾論心靈與機器

第11章 關于知識與生活的札記

1 內在目標和大問題

2 意義與生活形式

3 專業(yè)化與知識的統(tǒng)一

4 羅素作為一個例子

5 生活與對哲學的追求

第12章 風格與方法

1 關于物質、心靈和機器的科學研究

2 科學與哲學

3 關于當代哲學的一些評論

4 尊重原始事實

5 展望未來

附錄：批評的嘗試

1 關于歸納法合理性的評注

2 論關于歸納的懷疑論

3 物質對象的存在

4 一個關于知識的知識的疑問

5 什么是個體？

人名（及部分術語）索引

譯后記

前言

邏輯在大部分當代英美學院哲學中都直接或間接地扮演重要角色。從社會學上說，這令我們這些既對邏輯又對哲學懷有興趣的人感到欣慰。但長久以來，我一直抱持著兩點彼此相關的疑慮。在我看來，一方面，邏輯在哲學中通常被使用的方式，并沒有公正地體現出作為一種數學基礎研究的邏輯的全部豐富性；另一方面，過分強調邏輯對哲學的重要性（經常伴隨著對邏輯的一種誤用），已經將我們引向一種極端失衡的哲學觀，尤其當哲學是在傳統(tǒng)意義上被理解時。此外，邏輯與實證主義（或經驗主義，或“分析”哲學）被廣泛宣傳的并置關系，還給邏輯招來一個連帶罪名，導致持有其他信仰的哲學家對邏輯有一種驚人的忽視。其后果是不幸的：不僅那些被誤置的精確性指引的人沒有正確使用邏輯，其他哲學家也未能恰當地、富有成效地使用邏輯，后者要求更多地把邏輯用作獲得精確思維習慣的一種方式，而非一味追求對邏輯的顯式使用。

在本書中，我試圖通過提供一種不同的觀點，來表達這些疑慮。處理邏輯和數學概念的章節(jié)，意在揭示這些概念在哲學上我認為比較有趣的方面。關于更一般問題的章節(jié)，則試圖討論哲學的一般性質。這兩部分是以強調原始事實的方式松散地聯(lián)系在一起的。之所以特別強調數學（而不是物理學、生物學或歷史學等），部分是由于我對其他領域缺乏充足知識，部分是由于如下的信念：x在我們知識的目前階段，數學最適合我希望鼓勵的那種對概念思維的一般性探討。數學被認為足夠豐富和足夠核心，可以用來闡明知識哲學的大部分基本問題。

本書當然不是要提出一個哲學理論或哲學體系。事實上，對于那些相信哲學應該產生一個理論的人們，這里能找到的僅僅是一些哲學素材。然而，盡管我對哲學成為嚴格科學的可能性持保留意見，我依然相信，哲學可以是親近的、嚴肅的和穩(wěn)定的。哲學應當努力達成某種合理的統(tǒng)觀。與解決具體問題相比，將事物置于它們適合的視角下更有哲學價值。草率的思辨和對不自然問題的瑣碎執(zhí)著，都會阻礙哲學之積累性的進步?？紤]到當下哲學令人不滿意的基本狀況，很難在哲學與哲學素材之間劃出一條界線。我們一般能看出特定陳述是否是真的、重要的，是否具有超出技術性的價值。一個誘人的想法是，關于一個基本概念的這類陳述集合起來，就已經接近于窮盡了對該概念的無爭議的哲學闡釋。無論如何，本書將對英美哲學的流行趨勢發(fā)揮一種解毒劑的作用，并可能有助于加快迫切需要的改變的發(fā)生，把英美哲學引向更有吸引力的方向。

本書上一稿大約完成于一年前。在過去的幾個月里，主要得益于與庫爾特·哥德爾教授的討論，對一些部分作了擴充。我感謝哥德爾教授同意與我討論以下四部分中涉及的一些話題：引論，關于機械過程的一節(jié)（第2章），關于集合概念的一章（第6章），討論關于心靈和機器的數學論證的一節(jié)（第10章）。從1971年10月起，我有幸獲得數次機會，與哥德爾教授當面討論這些及其他相關問題。結果，我對上面列出的前三部分進行了修訂和增補，而對第10章則增加了第7節(jié)。雖然如此，由于我們在哲學進路上的一些基本差異，這些擴充一般不應被解釋為代表了哥德爾教授的觀點，但那些得到他訂正和同意的部分除外，現羅列如下：第2章第3.1節(jié)，第10章第7節(jié)，引論第2節(jié)和第6章第1節(jié)中歸屬給他的部分，亦即關于替換公理的段落和對我們據以建立集合論公理的五個原則的概括。

王浩

1972年6月

王浩無疑是在國際哲學與邏輯學界最知名、最有成就的華裔學者。他在數理邏輯、數學基礎的技術領域有許多開創(chuàng)性的貢獻，同時他也在哲學方面對分析哲學提出了深刻的批評。他的這部著作，一邊深入淺出地介紹數理邏輯與數學基礎的基本概念與成果，一邊借此闡述他自己的哲學思想。因此，這既是一本很權威的，數理邏輯與數學基礎方面的普及性讀物，又是分析哲學研究者的必讀專著。

——葉峰（首都師范大學政法學院哲學系教授）

王浩是哥德爾之后最能善待數學自主性的哲學家，這使本書具有了超乎尋常的深刻性，這種深刻性如美酒般清澈而醇厚，在今天顯得尤為珍貴。

——郝兆寬（復旦大學哲學學院教授）

王浩先生的著作既深刻又富有啟發(fā)性，值得向每一位關心數學哲學的讀者推薦。

——楊躍（新加坡國立大學數學系教授）

我們的人生道路迥然不同，王浩是對我思想影響最大的一個人。

——何兆武（歷史學家、翻譯家、清華大學教授）

王浩在《從數學到哲學》第6章探討了關于集合的直觀迭代概念，以及這種直觀概念如何啟發(fā)并核證了集合論公理。所有尋求對于這個問題的成熟的哲學理解的人，都應該把這篇文字當作第一讀本。

——查爾斯·帕森斯（Charles Parsons，哈佛大學哲學家）

王浩是近代享譽國際的數學家、哲學家、邏輯學家、計算機科學家，是人工智能重要研究領域“機器定理證明”的奠基人，是“王浩瓷磚”模型、“王氏悖論”命題的提出者，是“定理證明里程碑獎”獲得者。

王浩早年就讀于西南聯(lián)大數學系，師從金岳霖、沈有鼎、王憲鈞、楊武之等明師，與楊振寧是室友，與汪曾祺、何兆武交好。后在哈佛大學哲學系完成博士學位，又先后任教于哈佛大學、牛津大學。他是“人工智能之父”明斯基崇拜的天才、“圖靈獎”獲得者庫克的導師、蒯因的得意門生、庫爾特·哥德爾的忘年摯友……天才王浩輕松擁有在旁人看來“一路開掛”的人生。

盡管在數學、邏輯學、計算機科學領域有著開拓性成果和突出貢獻，王浩卻癡迷于哲學，立志成為哲學家，他將自己的大部分精力投入數學哲學的研究和寫作，是對世界哲學作出過深刻貢獻的華裔學者。《從數學到哲學》是王浩的首本“大部頭”，是一部循著從柏拉圖到哥德爾“數學-哲學家”傳統(tǒng)不斷探索的哲學思想專著，是其代表作，也是正面集中闡釋自己哲學思想的作品。

《從數學到哲學》于1974年在美國出版，是王浩的首部哲學著作，也是其重要代表作，卻由于種種原因一直未有中譯本出版。近年人工智能的飛速發(fā)展使學界對“機器定理證明”開山鼻祖王浩的懷念和研究的文章增多，學界對本書的出版呼聲也日益增高。此次中譯本首次出版，由專業(yè)譯者精心翻譯，斟字酌句，以助讀者更好地理解華裔學者王浩的數學哲學思想，了解他對世界的貢獻。

邏輯、數學及本書的范圍

“邏輯”一詞有多種不同的用法。就目前的目的而言，我們可以方便地區(qū)分出三種。在一種意義上，（純粹的或形式的）邏輯關注有效語句，它們獨立于任何特定的題材而成立，或者說，在一切可能世界中都為真。這個概念有一個含混的地方，會引出一個令人困惑的問題，它可以歸結為是否應當把純集合視作一種特殊題材這個問題?？雌饋砗芮宄囊稽c是，排除掉必然涉及無窮大、不可數性等概念的集合，我們確實能夠得到一個足夠重要的邏輯概念。因為我們完全不打算考慮模態(tài)邏輯，我們由此也就得到了第一個也是最狹窄意義的邏輯概念：（初等的或純粹的）邏輯無非就是帶或不帶等詞的量化理論或（一階）謂詞演算。

邏輯的第二種意義，大致對應著通常所說的數理邏輯，除了純粹邏輯，它還包括模型論、遞歸論，以及對整數、實數和集合的公理化處理。在這些情形中，邏輯與元邏輯和元數學是緊密地混雜在一起的。

邏輯的第三種也是最寬泛的意義，則遠沒有那么明確。它是關于純粹理性的探究或對理性之物的診治。在這種寬泛的意義上，發(fā)現的邏輯、發(fā)展的邏輯、某種形式的歸納邏輯、某種形式的辯證邏輯，都可以被包括在內。雖然我們對這些方面中的一些確有興趣，我們在本書中卻不會談論此寬泛意義上的邏輯，而是把自己限制在前兩種更明確、更狹窄的意義上。

我們不僅對數理邏輯在數學基礎問題和一般哲學上的應用感興趣，還關心那些超出數理邏輯但卻能彌補它在對人類知識之一般研究方面的局限性的觀念。這樣，邏輯一般地與直覺或默會知識形成對比，至少在當前狀態(tài)下，邏輯還不能處理思維活動（與理想化的最終結果相比），尤其是在效率上達不到。從邏輯或任何抽象觀點的角度研究知識現象，一個更基本但相關的局限性是，這樣做有忽視各知識分支的基本關注點的危險。正是為了彌補強調邏輯的這一缺陷，我們試圖從實踐和活動的多個視角考察數學。

在一種形式的意義上，數理邏輯包含數學，因為它包含公理集合論，全部數學形式上都可以還原為后者。另一方面，我們清楚地知道，數理邏輯在實踐上只是數學的一個特殊分支，并且事實上不常被視作很核心的分支。這一“悖論”使得如下觀點變得十分可信：在數學哲學研究中把注意力集中在數理邏輯上的做法，是片面的和不恰當的。

數理邏輯的一個主要任務是精確刻畫基本的數學概念，如自然數、實數、集合和（邏輯上正確的）證明。實現該目標的一個基本工具是公理系統(tǒng)和公理方法。對公理系統(tǒng)的反思導向元數學和模型論，前者主要關心對符號操縱（語形）的一般研究，后者則研究公理系統(tǒng)的解釋（語義）。語形方面的考慮與人們對構造性方法的興趣密切相關，涉及對機械程序或嚴格形式的這個概念的一個驚人地優(yōu)雅的刻畫。這恰好為計算機準備了一個抽象的理論。而計算機反過來又表明，執(zhí)行邏輯學家所設想的乏味的形式證明是實踐上可能的。這激勵人們以更精確的方式研究邏輯和直覺在數學探索活動中所扮演的角色。因此，對知識和邏輯的研究包含對心靈和機器、計算機和數學活動的考量，這并非是不自然的。

對模型和解釋的興趣自然地引向集合這一中心概念。事實上，集合的核心地位以很多不同的方式顯示出來。我們能有一個完備的純邏輯形式系統(tǒng)（一階邏輯的完全性問題），其表述本身就依賴于“任意集合”這個概念。只有使用二階理論，即預設一個固定的關于任意數集的概括概念時，我們才能用公理系統(tǒng)對自然數和實數做出唯一的（范疇性的）刻畫。這樣我們一次次看到，我們訴諸集合的概念來核證其他領域的絕對性結果。另一方面，我們對集合卻沒有一個類似的完備刻畫。即使我們使用二階理論并訴諸更高階的類概念，從而豐富集合的每一個類型或秩（增加稠密度），我們也無法凍結集合（在長度上）向著越來越高的秩的開放擴張。集合論的另一個令人著迷的特征是這樣一個明顯的悖論：對其基礎的懷疑普遍存在，但我們卻能獲得很強的直覺以非形式的方式達到正確、有趣、融貫的概念和定理。此外，關于數學對象和一個給定知識分支的內在資源的哲學問題，引人注目地聚焦在集合論的考察中?；谶@些理由，在思考知識和邏輯時，集合的概念值得注意。

我們是以邏輯還是以數學為知識哲學的中心，這是有差別的。如果以邏輯為中心，純邏輯（第一種也是最狹窄意義上的邏輯）就擁有主要的認識論地位，研究重點在于由話語的一般形式和條件產生的概念和判斷。相比之下，數學則強調數和空間，或更一般地理想化的結構，它們?yōu)椴煌茖W提供簡化而可操縱的模型。數學是一門比邏輯學更具實質性的學科，因為我們能想到數、函數、空間等數學對象。誠然，這些都不像物理對象，事實上，有許多理由認為數學對象只由數學結構決定。但盡管如此，在應用數學捕捉我們關于自然過程的知識中的理論上精確的成分時，這些神秘朦朧的對象極其有用。

……

有些時候，計算機可以用來輔助純數學（例如數論）的研究，比如驗證特例或檢查計算和證明的正確性。既然所使用的計算機是物理世界的一部分，我們似乎是在援引物理現象來核證數學結果。但這里我們感興趣的顯然主要是所用計算機的抽象性質，我們的結論本質上不依賴于計算機是哪個特殊的物理對象，也不依賴于其具體的物理性質。

一個更嚴肅的例子也許是這樣的想法，牛頓物理學對牛頓式世界而言是真的。雖然我們現在都相信牛頓物理學對現實世界不是嚴格地為真，我們仍然會宣稱，當被正確地應用時，它是真的，甚至是先天的。人們也許覺得，這與沒有什么兩樣，后者在被誤用在云朵或懷孕的兔子身上時并不會被證偽。然而，仍會有一種模糊的感覺，覺得更抽象，它有廣泛的例子，而牛頓物理學則只是處理一個可以說是獨一無二的東西，即真實的物理世界或其部分。我們還感到，牛頓物理學旨在如其所是的描述這個世界，而包含更多的概念性元素；就應用范圍而言，我們對它似乎比對牛頓物理學擁有更清楚的觀念。牛頓式世界的構想是難以實現的，因為某些自然條件排除了這個物理世界是牛頓式世界的可能性。的情況則極為不同。

有一種自然的傾向是，對數學和物理學是否不同這個問題感到不耐煩。那些希望強調差異的人，往往視其為先天與后天或分析與綜合之區(qū)分的核心。但這樣的差異究竟有何作用，并不清楚。如果一個人相信，哲學追求先天命題，那么也許可以得出結論，哲學更像數學而不是物理學。但通過考問結論，也許我們會對這個假設產生懷疑。畢竟，物理學涉及這個唯一的物理世界的基本方面，而數學看起來業(yè)務范圍更加發(fā)散，處理各種抽象的可能性。如果像我們相信的那樣，現實的比可能的更核心和更重要，那么更合理的做法似乎是，期望哲學關注現實物理世界和精神世界的基本特征，或更加緊密地關注人類擁有的實際知識。

在日常生活中，人們認為，物理學與數學的聯(lián)系比與其他自然科學的聯(lián)系更緊密。因此，考察物理學與數學之間的相互聯(lián)系和相似性是有趣的?？档碌南忍炀C合理論的一個優(yōu)點是，不僅將物理學（與知性相聯(lián)系）與數學（與直觀形式相聯(lián)系）相區(qū)別，同時還強調它們之間的相似性，體現在這一論題中：它們都與人類心智的工作方式緊密相關。

數理邏輯的發(fā)展與形式化的思想相聯(lián)系。邏輯學家有時被指責持有這樣的信念，認為存在的就是形式的。在初等教育領域，近來有一種對數學的形式化方面的不幸的強調。在高等數學中，也有傳統(tǒng)與堆砌定義的現代潮流之間的一個爭論。人們關于傳統(tǒng)數學的觀念里有四種不同的元素。第一，人們似乎認為，傳統(tǒng)數學一般地更接近其在物理科學中的應用。第二，傳統(tǒng)主義者認為，舊的數學問題是數學的核心，因為它們更自然，涉及的結構更少，而且更容易陳述。第三，有這樣一種看法，認為傳統(tǒng)數學對數學結果的數字內容更感興趣，因而是偏向構造性的，即使這常常是無意識的。根據這種觀點，邏輯學家們將經典數學與構造性數學（特別是分析）對立起來的做法，是基于一個誤解。不過，構造性的概念原是理想化的期待，未被清楚地研究。第四，傳統(tǒng)數學更注重直觀，以歐幾里得幾何學為例，試圖把它變得更加形式化，至少從教學法上說是一個錯誤。基礎的（根本的）區(qū)別是，傳統(tǒng)數學沒有那么抽象。

雖然這些要點及其所蘊含的對很多當代實踐的傳統(tǒng)主義批評不無道理，所涉及的問題卻絕不屬于那種會有簡單明快的答案的類型。例如，我們可以說，集合論學家訴諸他們的直觀來尋找新公理，但使用形式推演以確定新公理能否判定連續(xù)統(tǒng)的基數。群和域的概念無疑具有數學意義，但人們可以合理地聲稱，它們是用形式化方法被挑選出來的。甚至在研究公理和假設的獨立性這一十足形式的問題時，最好的結果也是通過廣泛運用數學直觀得到的。有一個關于明晰性的困難問題：形式化方法有時有助于獲得明晰性，有時又會對它產生阻礙。事實上，當被用在數學活動而非最終結果上時，形式化方法這個概念本身是高度歧義的。

關于數理邏輯的一個引人注意的現象是，它發(fā)展地越來越數學化。隨著它變得數學上更有趣，邏輯學家們發(fā)現自己被吸引到數學活動的漩渦之中。與此同時，在對人類知識之基礎的哲學理解上，它的貢獻似乎在減少而非增加。這一現象可以通過澄清一個錯誤信念來部分地解釋：隨著我們更好地理解數理邏輯的本性，我們發(fā)現，早期對其哲學重要性的信念很大程度上是一個幻覺。但另一個原因可能是受追求更明確的結果的社會心理驅動。這造成一種影響，使邏輯在哲學上更重要的方面沒有得到發(fā)展，并且被不那么重要但給人印象更深刻的數學進展埋沒。

邏輯的中心地位與實際知識相當脫節(jié)。如果我們區(qū)分知識的三個主要方面——最終結果、活動和進步，邏輯作為用來形式化全部科學知識的工具，似乎僅關心最終結果。甚至在這一方面，也有一種不切實際的假定，以為科學理論已經在數理邏輯或純邏輯的框架內得到表達和形式化。由于它們事實上不是這么表述的，并且一般來說目前也不適合這么表述，關于理論的本體論假設和形式真定義等問題的很多討論呈現出一種假設和虛幻的氣氛。有人可能希望把這種假設性研究與數學相比，但它如何能自然地融入人類知識的框架，仍然不清楚。

有些知識部門，特別是數學和關于計算機的研究，在許多方面確實比較接近邏輯，并因此更有可能從數理邏輯的嚴格、普遍的結果獲益。無論如何，鑒于邏輯在當前知識哲學中處于中心地位，把邏輯作為一個起點看起來是合理的，盡管我們對過分地強調邏輯深感疑慮。

——節(jié)選自王浩著，高坤、邢滔滔譯，《從數學到哲學》，廣西師范大學出版社2024年5月出版